第1节（2）函数的概念和性质

第1节（2）函数的概念和性质

二.函数

（一）概念

1. 定义：$D\subset R$，$f:D\mapsto R$，即为定义在D上的函数，记作$y=f(x)$，$x\in D$。

   x：自变量，y：因变量，D：定义域，f(x)为值域。

2. 自然定义域：例如$y=\dfrac{1}{x-1}(x\neq 1)$，$y=\sqrt{1-x^2},[-1,1]$

3. 表示法：表格，图像，解析式。

4. 特殊函数

   1. 符号函数：$y=sgn(x)=\begin{cases}-1,&x<0\0,&x=0\1,& x>0\end{cases}$
   2. 取整函数：$y=[x]$，取不超过自变量的最大整数。（例如：$[5.6]=5$）
   3. 狄利克雷函数：$y=D(x)=\begin{cases}1,&x\in Q\0,&x\not\in Q\end{cases}$

（二）函数特性

1. 有界性：$f(x)$在$X$上有定义

   1. 有上界：$\forall x\in X$，若$\exists K_1$，使得$f(x)\leq K_1\Longleftrightarrow$有上界。称$K_1$为$f(x)$的一个上界。
   2. 有下界：$\forall x\in X$，若$\exists K_1$，使得$f(x)\geq K_1\Longleftrightarrow$有下界。称$K_1$为$f(x)$的一个下界。
   3. 有界：$\forall x\in X$，若$\exists$正数$K$，使得$-K\leq f(x)\leq K\Longleftrightarrow$有界。

2. 单调性：设$f(x)$在$X$上有定义，$\forall x_1,x_2\in X$，不妨令$x_1<x_2$

   1. 总有$f(x_1)<f(x_2)\Rightarrow f(x)$在$X$上$\uparrow$（严格）

      ​ $f(x_1)\leq f(x_2)\Rightarrow f(x)$在$X$上$\uparrow$（非严格）

   2. 总有$f(x_1)>f(x_2)\Rightarrow f(x)$在$X$上$\downarrow$（严格）

      ​ $f(x_1)\geq f(x_2)\Rightarrow f(x)$在$X$上$\downarrow$（非严格）

3. 奇偶性：$f(x)$的定义域$D$关于原点对称，$\forall x\in D$

   1. 若$f(x)=f(-x)\Longleftrightarrow f(x)$是偶函数（函数图像关于$y$轴对称）
   2. 若$f(x)=-f(-x)\Longleftrightarrow f(x)$是奇函数（函数图像关于原点对称）

4. 周期性：$f(x)$定义域为$D$，$\exists L>0$，$\forall x\in D$，都有$f(x)=f(x+L)\Longleftrightarrow f(x)$为周期函数，以$L$为周期。