第1节（3）反函数复合函数初等函数

1. 反函数：若某函数是单射，则该函数具有反函数。

例如：$y=2x-1\Longleftrightarrow x=\dfrac{y-1}{2}$

1. 关于$y=x$对称

2. 非单射无反函数

   例如：$y=x^2\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{y}$不是函数

3. 复合函数

   例如：

   1. $u=g(x)=x^2-3$，$x\in [2,3]$

   2. $y=f(u)=2u-4$，$u\in [1,8]$

   $u$是中间变量，在A中作为值域是B中作为定义域的子集。

   ​ $y=f[g(x)]=2g(x)-4=2x^2-2$，$x\in [2,3]$

   **复合条件：**内层函数的值域是外层函数定义域的子集。

4. 初等函数

   1. 基本初等函数

      1. 常数函数：$y=f(x)=C$
      2. 幂函数：$y=x^u\Rightarrow y=x^2$（$u$为常数$\in R$）
      3. 指数函数：$y=a^x$（$a>0$且$a\neq 1$）
      4. 对数函数：$y=\log_{a}x$（$a>0$且$a\neq 1$）
      5. 三角函数和反三角函数：
         1. $y=\sin(x)$
         2. $y=\cos(x)$
         3. $y=tan(x)$
         4. $y=arcsin(x)$
         5. $y=arccos(x)$
         6. $y=\arctan(x)$

   2. 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所构成并且可用一个式子表示的函数。

      如：$y=\sqrt{1-x^2}$由$ \begin{cases}y=\sqrt{u}\u=1-x^2\end{cases}$复合而成。

      **性质：**初等函数在定义区间上连续。（重要但不予证明）